欽定四庫全書　　　　　子部六
　　五經算術目録　　　　　天文算法類二【算書之屬】卷上
　　尚書定閏法
　　推日月合宿法
　　求一年定閏法
　　求十九年七閏法
　　尚書孝經兆民注數越次法
　　詩伐檀毛鄭注不同法
　　詩豐年毛注數越次法
　　周易策數法
　　論語千乘之國法
　　周官車葢法
　　儀禮喪服絰帶法
　　喪服制食米溢數法
　　禮記王制國及地法
　　求經云古者百里當今一百二十一里六十步四尺二寸二分法
　　求鄭氏注云古者百畝當今一百五十六畝二十五步依鄭計之法
　　求鄭注云古者百里當今一百二十五里法
　　卷下
　　禮記月令黄鍾律管法
　　禮記禮運注始于黄鍾終于南吕法
　　禮運一本注始于黄鍾終于南事法
　　漢書終于南事算之法
　　禮記投壺法
　　推春秋魯僖公五年正月辛亥朔法
　　推積日法
　　求次月朔法
　　推僖公五年正月辛亥朔旦冬至法
　　求次氣法
　　推文公元年歲在乙未閠當在十月下而失在三月法
　　推閠餘十三在何月法
　　推文公六年歲在庚子是歲無閠而置閠法推襄公二十七年歲在乙卯再失閠法
　　推絳縣老人生經四百四十五甲子法
　　推文公十一年歲在乙巳夏正月甲子朔絳縣老人生月法
　　推積日法
　　推昭公十九年閏十二月後而以閏月為正月故以正月為二月法
　　推積日法
　　推昭公十九年歲在戊寅閏在十二月下法推昭公十九年歲在戊寅月朔法
　　推昭公二十年歲在己卯月朔法
　　推昭公二十年歲在己卯正月己丑朔旦冬至而失云閏二月己丑冬至法
　　推哀公十二年歲在戊午應置閏而不置故書十二月有螽法
　　求十二年閏月法
　　【臣】等謹案五經算術二卷北周甄鸞撰唐李淳風為之注鸞長于步算仕北周為司隸校尉漢中郡守嘗撰周天和年厯及注九章五曹孫子周髀等算經不聞其有是書而隋書經籍志有五經算術一卷五經算術錄遺一卷皆不著撰人姓名唐藝文志則有李淳風注五經算術二卷亦不言其書為誰撰今攷是書舉尚書孝經詩易論語三禮春秋之待算乃明者列之而推算之術悉加甄鸞按三字于上則是書當即鸞所撰又攷淳風當貞觀初奉詔與算學博士梁述助教王真儒等刋定算經立于學官唐選舉志及百官志竝列五經算為算經十書之一與周髀共限一年習肄及試士各舉一條為問此書注端悉有臣淳風等謹按字然則唐時算科之五經算即是書矣是書世無傳本惟散見于永樂大典中雖割裂失次尚屬完書據淳風注于尚書推定閏條自言其解釋之例則知發端于此又如論語千乘之國周官葢弓宇曲竝用開方之術詳于前而略于後循其義例以各經之敘推之其舊第尚可以攷見謹依唐藝文志所載之數釐為上下二卷其中採摭經史多唐以前舊本如引司馬彪志序論十二律各統一月當月者各自為宫今本後漢志統訛作終月訛作日革木之聲今志訛作草木陽下生陰陰上生陽始于黄鍾終于中吕今志脱始于黄鍾四字律為寸于準為尺律為分于準為寸下文承準寸言不盈者十之所得為分今志脱律為分于準為寸二句禮記義疏引志脱誤亦然又兩引上生不得過黄鍾之濁下生不得不及黄鍾之清申之曰是則上生不得過九寸下生不得減四寸五分與蔡邕月令章句謂黄鍾少宫管長四寸五分者合且足證中央土律中黄鍾之宫乃黄鍾清律不得溷同于仲冬月律中黄鍾為最長之濁律吕氏春秋先製黄鍾之宫次製十有二筒亦黄鍾有清律之證今志作上生不得過黄鍾之清濁下生不得及黄鍾之數實因清字訛衍在上後人改竄其下揆諸律法遂不可通葢是書不特為算家所不廢實足以發明經史覈訂疑義于攷證之學尤為有功焉乾隆四十五年九月恭校上
　　總纂官【臣】紀昀【臣】陸錫熊【臣】孫士毅
　　總校　官　【臣】陸　費　墀
　　欽定四庫全書
　　五經算術卷上
　　周　甄　鸞　撰
　　唐　李淳風　注
　　尚書定閏法
　　帝曰咨汝羲暨和朞三百有六旬有六日以閏月定四時成歲孔氏注云咨嗟曁與也帀四時曰朞一歲十二月月三十日【案原本脱一月字今據書孔傳補】正三百六十日除小月六為六日是為一歲【案原本作是為歲脱一字今據書孔傳補】有餘十二日未盈三歲足得一月則置閏焉以定四時之氣節成一歲之厯象甄鸞按一歲之閏惟有十日九百四十分日之八百二十七而云餘十二日者理則不然何者十九年七閏今古之通軌以十九年整得七閏更無餘分故以十九年為一章今若一年有餘十二日則十九年二百二十八日若七月皆小則賸二十五日若七月皆大猶餘十八日先推日月合宿以定一年之閏則十九年七閏可知
　　推日月合宿法
　　置周天三百六十五度于上四分度之一于下又置月行十三度十九分度之七除其日一度餘十二度以月分母十九乘十二度積二百二十八内子七【案内郎納字古通用】得二百三十五為章月以度分母四乘章月得九百四十為日法又以四分乘度三百六十五内子一得一千四百六十一乃以月行分母十九乘之得二萬七千七百五十九為周天分以日法九百四十除之得二十九日不盡四百九十九即是一月二十九日九百四十分日之四百九十九與日合宿也
　　求一年定閏法
　　置一年十二月以二十九日乘之得三百四十八日又置十二月以日分子四百九十九乘之得五千九百八十八以日法九百四十除之得六日從上三百四十八日得三百五十四日餘三百四十八以三百五十四日減周天三百六十五度不盡十一日又以餘分三百四十八減章月二百三十五而章月少不足減上減一日加下日法九百四十分得一千一百七十五以實餘三百四十八乃減下法餘八百二十七是為一歲定閏十日九百四十分日之八百二十七
　　臣淳風等謹按此五經算一部之中多無設問及術直據本條畧陳大數而已今竝加正術及問仍舊數相符其有汎説事由不須術者竝依舊不加據此問宜云注一歲有餘十二日未盈三歲足得一月則置閏焉按十九年為一章有七閏問一年之中定閏幾何曰十日九百四十分日之八百二十七其術宜云置十二月以章法十九乘之納七閏為章月以四乘之為蔀月又置周天分以十九乘之為蔀日以蔀月除之得一月之日及分以十二乘之所得以減周天分餘即一年閏數也
　　求十九年七閏法
　　置一年閏十日以十九年乘之得一百九十日又以八百二十七分以十九年乘之得一萬五千七百一十三以日法九百四十除之得十六日餘六百七十三以十六加上日得二百六日以二十九除之得七月餘三日以法九百四十乘之得二千八百二十以前分六百七十三加之得三千四百九十三以四百九十九命七月分之適盡是謂十九年得七閏月月各二十九日九百四十分日之四百九十九
　　臣淳風等謹按其問宜云一年閏十日九百四十分【案原本訛作九百四分脱十字今補】日之八百二十七一月二十九日九百四十分日之四百九十九問一章十九年凡閏日及月數各幾何曰閏二百六日九百四十分日之六百七十三閏月有七其術宜云置一年閏日通分内子以章法十九乘之為實以日法九百四十除之得閏日數以一月之分二萬七千七百五十九除之得閏月之數
　　尚書孝經兆民注數越次法
　　天子曰兆民諸侯曰萬民甄鸞按吕刑云一人有慶兆民頼之注云億萬曰兆天子曰兆民諸侯曰萬民又按周官乃經土地而井牧其田野九夫為井四井為邑四邑為邱四邱為甸四甸為縣四縣為都以任地事而令貢賦凡税斂之事所以必共井者存亾更守入出相伺嫁娶相媒有無相貸疾病相憂緩急相救以所有易以所無也兆民者王畿方千里自乘得兆井【案原李作得之兆井衍之字今删】王畿者因井田立法【案原本訛作因井田之立法衍之字今删】故曰兆民若言兆井之民也如以九州地方千里者九言之則是九兆其數不越于兆也諸侯曰萬民者公地方百里自乘得一萬井故曰萬民所以言侯者諸侯之通稱也按注云億萬曰兆者理或未盡何者按黄帝為法數有十等及其用也乃有三焉十等者謂億兆京垓秭壤溝澗正載也三等者謂上中下也其下數者十十變之若言十萬曰億十億曰兆十兆曰京也中數者萬萬變之若言萬萬曰億萬萬億曰兆萬萬兆曰京也上數者數窮則變者言萬萬曰億億億曰兆兆兆曰京也若以下數言之則十億曰兆若以中數言之則萬萬億曰兆若以上數言之則億億曰兆注乃云億萬曰兆者正是萬億也若從中數其次則須有十萬億次百萬億次千萬億次萬萬億曰兆三數竝違有所未詳按尚書無此注故從孝經注釋之【案今孝經亦無此注考天子曰兆民諸侯曰萬民本左氏春秋閔公元年卜偃之語鄭康成注内則降徳于衆兆民云萬億曰兆天子曰兆民諸侯曰萬民然則此所引尚書及孝經注皆鄭氏説也】
　　詩伐檀毛鄭注不同法
　　不稼不穡胡取禾三百億兮不狩不獵胡瞻爾庭有縣特兮注云萬萬曰億獸三歲曰特箋云十萬曰億三百億禾秉之數也甄鸞按黄帝為法數有十等及其用也乃有三焉十等者謂億兆京垓秭壤溝澗正載三等者謂上中下也其下數者十十變之若言十萬曰億十億曰兆十兆曰京也中數者萬萬變之若言萬萬曰億萬萬億曰兆萬萬兆曰京也上數者數窮則變若言萬萬曰億億億曰兆兆兆曰京也據此而言鄭用下數毛用中數矣
　　詩豐年毛注數越次法
　　豐年多黍多稌亦有髙廩萬億及秭毛注云豐大稌稲廩所以藏齍盛之穗數萬至萬曰億數億至億曰秭箋云豐年大有之年萬億及秭以言榖數多也甄鸞按毛注云數萬至萬曰億者此即是中數萬萬曰億也又云數億至億曰秭者或有可疑何者按黄帝數術云中數者萬萬曰億萬萬億曰兆萬萬兆曰京萬萬京曰垓萬萬垓曰秭此應云數億至垓曰秭而言數億至億曰秭者有所未詳
　　周易策數法
　　凡天地之數五十有五此所以成變化而行鬼神也乾之策二百一十有六坤之策百四十有四凡三百有六十當朞之日二篇之策萬有一千五百二十當萬物之數也是故四營而成易十有八變而成卦八卦而小成引而伸之觸類而長之天下之能事畢矣甄鸞按天以一生水地以二生火天以三生木地以四生金天以五生土天數竒二十五地數耦三十并天地之數合五十五謂之大衍之數揲蓍得乾者三十六策然後得九一爻爻有三十六策合二百一十六揲蓍得坤者二十四策然後得六一爻爻有二十四策合一百四十四并乾坤之策三百六十當一朞之日者舉全數也上下經有六十四卦卦有六爻合三百八十四爻陰陽各半陽爻稱九陰爻稱六九六各百九十二也陽爻以三十六策乘之得六千九百一十二陰爻以二十四策乘之得四千六百八并陰陽之策合得一萬一千五百二十也四營者仰象天俯法地近取諸身遠取諸物也十八變者三變而成爻十八變而六爻也八卦而小成者言雖成易猶未備也
　　論語千乘之國法
　　子曰道千乘之國注云司馬法六尺為步步百為畆畆百為夫夫三為屋屋三為井井十為通通十為成成出革車一乘然則千乘之賦其地千成也今有千乘之國其地千成計積九十億步問為方幾何答曰三百一十六里六十八步一十八萬九千七百三十七分步之六萬二千五百七十六術曰置積步為實開方除之即得按千乘之國其地千成方十里置一成地十里以三百步乘之得三千步重張相乘得九百萬步又以千成乘之得積九十億步以開方除之即得方數也開方法曰借一算為下法步之常超一位至萬而止置上商九萬于實之上又置九億于實之下下法之上名曰方法命上商九萬以除實畢倍方法九億得十八億乃折之方法一折下法再折又置上商四千于上以次前商之後又置四百萬于方法之下下法之上名曰隅法方隅皆命上商四千以除實畢倍隅法得八百萬上從方法得一億八千八百萬乃折之方法一折下法再折又置上商八百于上以次前商之後又置八萬于方法之下下法之上名曰隅法方隅皆命上商八百以除實畢倍隅法得十六萬上從方法得一千八百九十六萬乃折之方法一折下法再折又置上商六十于上以次前商之後又置六百于方法之下下法之上名曰隅法方隅皆命上商六十以除實畢倍隅法得一千二百上從方法得一百八十九萬七千二百乃折之方法一折下法再折又置上商八于上以次前商之後又置八于方法之下下法之上名曰隅法方隅皆命上商八以除實畢倍隅法得一十六上從方法下法一亦從之得一十八萬九千七百三十七分步之六萬二千五百七十六以里法三百步除之得三百一十六里不盡六十八步即得方三百一十六里六十八步一十八萬九千七百三十七分步之六萬二千五百七十六也
　　周官車葢法
　　參分弓長以其一為之尊注云尊高也六尺之弓近部平者二尺【案原本脱此六字今據周禮注補】爪末下于部二尺二尺為句【案此四字原本訛作為句也三字今據周禮注補正】四尺為求其股股十二【案此六字原本訛作其股十二四字今據周禮注補正】開方除之面三尺幾半甄鸞按句股之法横者為句直者為股邪者為若句三則股四而五此自然之率也今此車葢句二四則股三此亦自然之率矣求之法句股各自乘并而開方除之即也股自乘以減自乘其餘開方除之即句也句自乘以減自乘其餘開方除之即股也假令句三自乘得九股四自乘得十六倂之得二十五開方除之得五也股四自乘得十六五自乘得二十五以十六減之餘九開方除之得三句也句三自乘得九五自乘得二十五以九減之餘十六開方除之得四股也今車葢崇二尺弓四尺以崇下二尺為句弓四尺為為之求股求股之法句二尺自乘得四四尺自乘得十六以四減十六餘十二開方除之得三即股三尺也餘三倍方法三得六又以下法一從之得七即股三尺七分尺之三故曰幾半也
　　臣淳風等謹按其問宜云車葢之弓長六尺近上二尺連部而平【案部原本訛作步考周禮注云六尺之弓近部平者二尺即此所本今訂正】為高四尺邪下宇曲為爪末下于部二尺為句欲求其股問股幾何曰三尺七分尺之三術曰句自乘以減自乘其餘開方除之即得股也
　　儀禮喪服絰帶法
　　苴絰大搹左本在下【案原本訛作左平在下今據儀禮改正】去五分一以為帶齊衰之絰斬衰之帶也去五分一以為帶大功之絰齊衰之帶也去五分一以為帶小功之絰大功之帶也去五分一以為帶緦麻之絰小功之帶也去五分一以為帶注云盈手曰搹搹㧖也中人之㧖圍九寸以五分一為殺者象五服之數今有五服衰絰迭相差減五分之一其斬衰之絰九寸問齊衰大功小功緦麻絰各幾何答曰齊衰七寸五分寸之一大功五寸二十五分寸之十九小功四寸一百二十五分寸之七十六緦麻三寸六百二十五分寸之四百二十九甄鸞按五分減一者以四乘之以五除之置斬衰之絰九寸以四乘之得三十六為絰實以五除之得齊衰之絰七寸五分寸之一以母五乘絰七寸得三十五内子一得三十六以四乘之得一百四十四為實以五乘下母五得二十五為法除之得大功絰五寸二十五分寸之十九以母二十五乘絰五寸得一百二十五内子十九得一百四十四以四乘之得五百七十六為實以五乘下母二十五得一百二十五為法以除之得小功絰四寸一百二十五分寸之七十六以母一百二十五乘絰四寸得五百内子七十六得五百七十六又以四乘之得二千三百四為實以五乘下母一百二十五得六百二十五為法以除之得緦麻之絰三寸六百二十五分寸之四百二十九
　　臣淳風等謹按其術宜云置斬衰之絰九寸以四乘之丘而一得齊衰之絰其求大功已下者準此有分者同而通之即合所問
　　喪服制食米溢數法
　　朝一溢米夕一溢米注云二十兩曰溢一溢為米一升二十四分升之一甄鸞按一溢米一升二十四分升之一法置一斛米重一百二十斤以十六乘之為積一千九百二十兩以溢法二十兩除之得九十六溢為法以米一斛為百升為實實如法得一升不盡四升與法俱再半之名曰二十四分升之一稱法三十斤曰鈞四鈞曰石石有一百二十斤也所以名斛為石者以其一斛米重一百二十斤故也
　　臣淳風等謹按其問宜云喪服朝一溢米夕一溢米鄭注云二十兩曰溢為米一升二十四分升之一欲求其指如何術曰置一斛升數為實又置一斛米重斤數以斤法十六兩乘之所得以溢法二十除之為法實如法得一升不盡者與法俱再半之即得分也禮記王制國及地法
　　凡四海之内有九州大界方三千里三三而九計方一千里者有九也今為里田之法方一千里為廣一里則長一百萬里也分方一千里為畿内餘為八州州各得方一千里各以方里自乘為積里諸國皆倣方一百里國三十一國萬里【方百里自相乘】三十國合三十萬里方七十里國六十一國四千九百里六十國合二十九萬四千里方五十里國一百二十一國二千五百里一百二十國合三十萬里上法一州有二百一十國合地八十九萬四千里以減一州之地大數一百萬里餘一十萬六千里為閒田此據一州而言若八州則地七百一十五萬二千里以減八州八百萬里餘八十四萬八千里為閒田
　　臣淳風等謹按其問宜云今有州方千里其中封百里之國三十七十里之國六十五十里之國百二十問三等國别及當色總數并都合積里餘為閒田得地幾何曰百里之國一國得積萬里總積三十萬里七十里之國一國得積四千九百里總積二十九萬四千里五十里之國一國得積二千五百里總積三十萬里都合得積八十九萬四千里閒田積十萬六千里術宜云置方里各自乘為一國之積里各以本方國數乘之得當方總數并之即都合積里以減一州方里自乘大數餘即閒田也
　　畿内方百里國九一國萬里九國合九萬里方七十里國二十一一國四千九百里二十一國合十萬二千九百里方五十里國六十三一國二千五百里六十三國合十五萬七千五百里上法畿内有九十三國計地三十五萬四百里以減一百萬里餘六十四萬九千六百里為閒田以八州之地七百一十五萬二千里并畿内三十五萬四百里九州之國合地七百五十萬二千四百里以減九州之地大數九百萬里餘一百四十九萬七千六百里為閒田此商制也
　　臣淳風等謹按其問宜云今有畿内方千里其中封百里之國九七十里之國二十一五十里之國六十三問三等國别及當色總數并畿内都合積里餘為閒田各幾何曰百里之國一國得積萬里總九萬里七十里之國一國積四千九百里總十萬二千九百里五十里之國一國積二千五百里總十五萬七千五百里都合積三十五萬四百里閒田積六十四萬九千六百里其術宜云方里各自乘為一國之積里各以本方國數乘之得當方總數并之即都合積里以減畿内方里自乘大數餘即閒田也
　　鄭注云周公制禮九州大界方七千里七七四十九即四千九百萬里計方一千里者四十九也分方千里為畿内餘為八州州各得一千里者六一州合地六百萬里方五百里國四一國二十五萬里四國合一百萬里方四百里國六一國十六萬里六國合九十六萬里方三百里國十一一國九萬里十一國合九十九萬里方二百里國二十五一國四萬里二十五國合一百萬里方一百里國一百六十四一國一萬里一百六十四國合一百六十四萬里上法一州二百一十國計地五百五十九萬里以減一州之地大數六百萬里餘四十一萬里為附庸閒田按周禮據千里為法則公國四侯國六伯國十一子國二十五男國一百六十四合二百一十國者非周之數矣據地方一千里為地一百萬里五國合為地五百萬里方百里者五十九方百里為地一萬里五十九國合為地五十九萬里上二法計得地五百五十九萬里容前二百一十國餘方百里者四十一方百里為地一萬里百里之國四十一為地四十一萬里上據地以下三法合地六百萬里一州之大數臣淳風等謹按其問宜云今有一州方千里者六其中封方五百里之國四四百里之國六三百里之國十一二百里之國二十五一百里之國一百六十四問五等國别及當色總數并都合積里餘為附庸閒田各幾何曰五百里之國四一國得積二十五萬里總積一百萬里四百里之國六一國十六萬里總九十六萬里三百里之國十一一國九萬里總九十九萬里二百里之國二十五一國四萬里總一百萬里一百里之國一百六十四一國一萬里總一百六十四萬里都合二百一十國總積五百五十九萬里附庸間田積四十一萬里術宜云置五等方里各自乘得一國之積里各以本方國數乘之得當方總數并之得都合積里以減一州方里自乘積一百萬里餘四十一萬里即附庸閒田
　　古者以周尺八尺為步今以周尺六尺四寸為步古者百畝當今東田百四十六畝三十歩古者百里當今百二十一里六十歩四尺二寸二分注云周尺之數未之詳聞按禮制周猶以十寸為尺蓋六國時多變亂法度或言周尺八寸則歩更為八八六十四寸以此計之古者百畝當今百五十六畝二十五歩古者百里當今百二十五里也甄鸞按古者以周尺八尺為步今以周尺六尺四寸為歩古者一百畝當今東田一百四十六畝三十步計之法置古步八尺以八寸乘之為六十四寸自相乘得四千九十六寸為古步法又置今步六尺以八寸乘之内四寸得五十二寸自相乘得二千七百四寸為今步法置田一百畝以百步乘之得一萬步以古步法乘之得四千九十六萬寸為實以今歩法二千七百四寸除之得一萬五千一百四十七步不盡二千五百一十二寸約之得一百六十九分步之一百五十七以畝法一百步除積步得一百五十一畝餘四十七步及分以經中東田一百四十六畝三十步減之計賸五畝一十七步及分此即經自不合
　　臣淳風等謹按其問宜云古者以周尺八尺為步今以周尺六尺四寸為步周制八寸為尺問古者百畝當今幾畝又與經中當今畝數所較幾何曰一百五十一畝四十七步一百六十九分步之一百五十七多于經中五畝一十七步一百六十九分步之一百五十七術宜云置古步尺數以八寸乘之又自相乘為古步法又置今步尺數亦以八寸乘之内子自相乘為今步法列田百畝步數以古步法乘之今步法除之所得以經中當今畝數減之餘即所多之數求經云古者百里當今一百二十一里六十步四尺二寸二分法
　　置百里以三百步乘之得三萬步以古一步六十四寸乘之得一百九十二萬寸以今步法五十二寸除之得三萬六千九百二十三步餘四寸以里法三百步除積步得一百二十三里不盡二十三步四寸以經中一百二十一里六十步四尺二寸二分減之計賸一里二百六十二步一尺三寸八分亦經自不合
　　臣淳風等謹按其問宜云周制八寸為尺古以周尺八尺為步今以周尺六尺四寸為步問古者百里當今幾里又與經中當今里數所較幾何曰一百二十三里二十三步四寸多于經中一里二百六十二步一尺三寸八分術宜云置百里步數以古步寸數乘之以今步寸數除之以里法三百步除之即得以經中當今里數減之餘即所多之數
　　求鄭氏注云古者百畝當今一百五十六畝二十五步依鄭計之法
　　置經中古者八十寸今六十四寸相約古步率得五今步率得四古步率五自乘得二十五為古步法今步率四自乘得十六為今步法置田一百畝為一萬步以古步法二十五乘之得二十五萬以今步法十六除之得一萬五千六百二十五步以畝法一百步除之得一百五十六畝不盡二十五步
　　臣淳風等謹按其問宜云鄭注禮王制周猶以十寸為尺或言周尺八寸則步更為八八六十四寸以此計之古者百畝當今一百五十六畝二十五步欲求其旨趣如何術宜云置古步寸數與今步寸數相約所得各自為率二率各自乘為步法又列田百畝步數以古步法乘之今步法除之即得
　　求鄭注云古者百里當今一百二十五里法
　　置一百里以三百步乘之得三萬步以古步率五乘之得一十五萬為實以今步率四乘里法三百步得一千二百為法實如法而一得一百二十五里按經自不合鄭注又不與經同未詳所以
　　臣淳風等謹按其問宜云鄭意以周猶以十寸為尺或謂周尺八寸以此計之古者百里當今一百二十五里求其旨趣如何術宜云以今步寸數等約古步寸數各自為率古步率得五今步率得四置百里步數以古步率乘之以今步率四而一以里法三百步除之即得



　　五經算術卷上
　　欽定四庫全書
　　五經算術卷下
　　周　甄　鸞　撰
　　唐　李淳風　注
　　禮記月令黄鍾律管法
　　黄鍾術曰置一算以三九徧因之為法置一算以三因之得三又三因之得九又三因之得二十七又三因之得八十一又三因之得二百四十三又三因之得七百二十九又三因之得二千一百八十七又三因之得六千五百六十一又三因之得一萬九千六百八十三為法即是黄鍾一寸之積分重張其位于上以三再因之為黄鍾之實以法除之得黄鍾十一月管長九寸置黄鍾一寸積分一萬九千六百八十三以三因之得五萬九千四十九又置五萬九千四十九以三因之得十七萬七千一百四十七為黄鍾之實以寸法一萬九千六百八十三除實得黄鍾之管長九寸
　　律管之法隔八相生子午已東為上生子午已西為下生上生者三分益一下生者三分損一益者四乘三除損者二乘三除黄鍾下生林鍾六月管長六寸置黄鍾管長九寸以二乘之得十八以三除之得林鍾管長六寸
　　林鍾上生太蔟正月管長八寸置林鍾管長六寸以四乘之得二十四以三除之得太蔟管長八寸
　　太蔟下生南呂八月管長五寸三分寸之一置太蔟之管八寸以二乘之得十六以三除之得南呂之管長五寸三分寸之一
　　南呂上生姑洗三月管長七寸九分寸之一置南呂管長五寸以分母三乘之内子一得十六以四乘之得六十四以三乘法三得九為法以除之得姑洗之管長七寸九分寸之一
　　姑洗下生應鍾十月管長四寸二十七分寸之二十置姑洗管長七寸以分母九乘之内子一得六十四以二乘之得一百二十八以分母九乘法三得二十七為法以除之得應鍾之管長四寸二十七分寸之二十應鍾上生蕤賓五月管長六寸八十一分寸之二十六置應鍾管長四寸以分母二十七乘之内子二十得一百二十八以四乘之得五百一十二以分母二十七乘法三得八十一為法除之得蕤賓管長六寸八十一分寸之二十六
　　蕤賓上生大呂十二月管長八寸二百四十三分寸之一百四置蕤賓管長六寸以分母八十一乘之内子二十六得五百一十二以四乘之得二千四十八為實以分母八十一乘法三得二百四十三為法除之得大呂之管長八寸二百四十三分寸之一百四
　　大呂下生夷則七月管長五寸七百二十九分寸之四百五十一置大呂管長八寸以分母二百四十三乘之内子一百四得二千四十八以二乘之得四千九十六為實以分母二百四十三乘法三得七百二十九為法除之得夷則管長五寸七百二十九分寸之四百五十一
　　夷則上生夾鍾二月管長七寸二千一百八十七分寸之一千七十五置夷則管長五寸以分母七百二十九乘之内子四百五十一得四千九十六以四乘之得一萬六千三百八十四為實以分母七百二十九乘法三得二千一百八十七為法除之得夾鍾管長七寸二千一百八十七分寸之一千七十五
　　夾鍾下生無射九月管長四寸六千五百六十一分寸之六千五百二十四置夾鍾管長七寸以分母二千一百八十七乘之内子一千七十五得一萬六千三百八十四以二乘之得三萬二千七百六十八為實以分母二千一百八十七乘法三得六千五百六十一為法除之得無射管長四寸六千五百六十一分寸之六千五百二十四
　　無射上生中呂四月管長六寸一萬九千六百八十三分寸之一萬二千九百七十四置無射管長四寸以分母六千五百六十一乘之内子六千五百二十四得三萬二千七百六十八以四乘之得十三萬一千七十二為實以分母六千五百六十一乘法三得一萬九千六百八十三為法除之得中呂之管長六寸一萬九千六百八十三分寸之一萬二千九百七十四
　　禮記禮運注始于黄鍾終于南呂法
　　五行之動迭相竭五行四時十二月還相為本五聲六律十二管還相為宮五味六和十二食還相為滑【案今禮記正文作質鄭注云五味酸苦辛鹹甘也和之者春多酸夏多苦秋多辛冬多鹹皆有滑甘是謂六和蓋五味加滑而六據内則曰滫㵦以滑之疏云滫㵦之令柔滑也食味言還相為滑衣色言還相為質質如凡畫者丹質之質食味衣色二者語宜有别此所引在唐以前應是古本作滑仍之以備參考】五色六章十二衣還相為質注云竭猶負載也言五行運轉更相為始五聲宮商角徵羽其管陽曰律隂曰呂布在十二辰始于黄鍾九寸下生者三分去一上生者三分益一終于南呂更相為宮凡六十律甄鸞按五聲六律十二管還相為宮終于南呂
　　黄鍾為宮林鍾為徵太蔟為商南吕為羽姑洗為角林鍾為宮太蔟為徵南吕為商姑洗為羽應鍾為角太蔟為宮南呂為徵姑洗為商應鍾為羽蕤賓為角南呂為宮姑洗為徵應鍾為商蕤賓為羽大呂為角姑洗為宮應鍾為徵蕤賓為商大呂為羽夷則為角應鍾為宮蕤賓為徵大呂為商夷則為羽夾鍾為角蕤賓為宮大呂為徵夷則為商夾鍾為羽無射為角大呂為宮夷則為徵夾鍾為商無射為羽中呂為角夷則為宮夾鍾為徵無射為商中呂為羽黄鍾為角夾鍾為宮無射為徵中呂為商黄鍾為羽林鍾為角無射為宮中呂為徵黄鍾為商林鍾為羽太蔟為角中呂為宮黄鍾為徵林鍾為商太蔟為羽南呂為角甄鸞按禮記注一本乃有云始于黄鍾終于南事者更顯之于後
　　禮運一本注始于黄鍾終于南事法
　　甄鸞按司馬彪律厯志黄鍾下生林鍾林鍾上生太蔟太蔟下生南呂南呂上生姑洗姑洗下生應鍾應鍾上生蕤賓蕤賓上生大呂大呂下生夷則夷則上生夾鍾夾鍾下生無射無射上生中呂中呂上生執始執始下生去滅去滅上生時息時息下生結躬結躬上生變虞變虞下生遲内遲内上生盛變盛變上生分否分否下生解形解形上生開時開時下生閉掩閉掩上生南中南中上生丙盛丙盛下生安度安度上生屈齊屈齊下生歸期歸期上生路時路時下生未育未育上生離宮離宮上生凌隂凌隂下生去南去南上生族嘉族嘉下生鄰齊鄰齊上生内負【案原本訛作内貟下同今據後漢書改正】内負上生分動分動下生歸嘉歸嘉上生隨期隨期下生未卯未卯上生形始形始下生遲時遲時上生制時制時上生少出少出下生分積分積上生爭南爭南下生期保期保上生物應物應上生質末質末下生否與否與上生形晉【案原本訛作下生形晉今據後漢書改正】形晉下生夷汗夷汗上生依行依行上生色育色育下生謙待謙待上生未知未知下生白呂白呂上生南授南授下生分烏分烏上生南事南事不生
　　漢書終于南事算之法
　　甄鸞按司馬彪志序云漢興北平侯張蒼首治律厯孝武正樂置協律之官至元始中博徵通知鍾律者攷其意義劉歆典領條奏前史班固取以為志而元帝時郎中京房知五聲之音六律之數上使太子太傅元成諫議大夫章雜試問房于樂府房對受學故小黄令焦延夀六十律相生之法以上生下皆三生二以下生上皆三生四陽下生隂陰上生陽始于黄鍾【案後漢書今本及見于禮記疏者皆無始于黄鍾四字此所引乃全文可補二書脱誤】終于中呂而十二律畢矣中呂上生執始執始下生去滅上下相生終于南事六十律畢矣夫十二律之變至于六十猶八卦之變至于六十四也宓羲作易紀陽氣之初以為律法建日冬至之聲以黄鍾為宮太蔟為商姑洗為角林鍾為徵南呂為羽應鍾為變宮蕤賓為變徵此聲氣之元五音之正也故各統一月【案後漢書今本訛作各終一日下當月者訛作當日者攷律法十二律分十二月各自為宮而商徵以類從是一律統一月也禮記疏引作各統一日下仍作當月者惟此所引無舛誤可據以訂正二書】其餘以次運行當月者各自為宮而商徵以類從焉禮運篇曰五聲六律十二管還相為宮此之謂也以六十律分朞之日黄鍾自冬至始及冬至而復陰陽寒燠風雨之占生焉所以檢攝羣音考其高下苟非革木之聲【案革木後漢書今本訛作草木當以此所引為正】則無不有所合作聲不可以度調故作準以定數準之狀如瑟長丈而十三隱間九尺以應黄鍾之律九寸中央一下有畫分寸以為六十律清濁之節律術曰陽以圓為形其性動陰以方為節其性靜動者數三靜者數二以陽生陰倍之以陰生陽四之皆三而一陽生陰曰下生陰生陽曰上生上生不得過黄鍾之濁下生不得不及黄鍾之清【案後復引此二語下云是則上生不得過九寸下生不得減四寸五分攷蔡邕月令章句云黄鍾之宮謂黄鍾少宮也半黄鍾九寸之數管長四寸五分蓋九寸者黄鍾全律四寸五分者黄鍾半律後漢書今本作上生不得過黄鍾之清濁下生不得及黄鍾之數實訛謬不可通當是傳寫致舛校書者因有所竄改此所引猶善本未訛者也】皆參天兩地圓蓋方覆六耦承竒之道也黄鍾律呂之首而生十二律者也其相生也皆三分而損益之是故十二律之得十七萬七千一百四十七是為黄鍾之實如前置一算以三九徧因之得一萬九千六百八十三為黄鍾一寸之積分即為一寸之法即以三再因之得一十七萬七千一百四十七為黄鍾之實以寸法除之得黄鍾之管長九寸又以二乘而三約之是謂下生林鍾之實置黄鍾之實一十七萬七千一百四十七以二因之得三十五萬四千二百九十四以三除之得一十一萬八千九十八為林鍾之實以寸法一萬九千六百八十三除之得林鍾之管長六寸又以四乘而三約之是謂上生太蔟之實置林鍾之實十一萬八千九十八以四因之得四十七萬二千三百九十二以三除之得十五萬七千四百六十四為太蔟之實以寸法一萬九千六百八十三除之得太蔟之管長八寸自餘諸管上下相生皆倣此推此上下以定六十律之實以九三之數【案數原本訛作得今據後漢書改正】萬九千六百八十三為法實如法于律為寸于準為尺【案尺字原本訛作寸今據後漢書改正】于律為分于準為寸【案後漢書今本無此二語攷下云不盈者十之所得為分正承于準為寸句謂不盈寸也當是後漢書脱落此所引乃全文】不盈者十之所得為分又不盈十之所得為小分以其餘正其強弱
　　子黄鍾實十七萬七千一百四十七律九寸下生林鍾臣淳風等謹案此六十律上下相生之法空有都術而無問目今于此下附一都問自餘諸律問皆準此其問宜云黄鍾實一十七萬七千一百四十七律長九寸下生林鍾實律各㡬何曰實一十一萬八千九十八律長六寸
　　色育實十七萬六千七百七十六律八寸九分【小分八微強】下生謙待
　　執始實十七萬四千七百六十二律八寸八分【小分七太強】下生去滅
　　丙盛實十七萬二千四百一十律八寸七分【小分六微弱】下生安度
　　分動實十七萬八十九律八寸六分【小分四微強】下生歸嘉質末實十六萬七千八百律八寸五分【小分二半強】下生否與
　　丑大呂實十六萬五千八百八十八律八寸四分【小分三弱】下生夷則
　　分否實十六萬三千六百五十四律八寸三分【小分一强】下生解形
　　凌陰實十六萬一千四百五十二律八寸二分【小分一弱】下生去南【案此句之上原本脱小分一弱四字今據後漢書補】
　　少出實十五萬九千二百八十律八寸【小分九少強】下生分積
　　寅太蔟實十五萬七千四百六十四律八寸下生南呂未知實十五萬七千一百三十四律七寸九分【小分八強】下生白呂
　　時息實十五萬五千三百四十四律七寸八分【小分九少強】下生結躬
　　屈齊實十五萬三千二百五十三律七寸七分【小分九弱】下生歸期
　　隨期實十五萬一千一百九十律七寸六分【小分八微強】下生未卯
　　形晉實十四萬九千一百五十六【案六後漢書作五據否與上生形晉所得數末位為六今本後漢書蓋流傳之訛當以此所引為正】律七寸五分【小分八弱】下生夷汗
　　卯夾鍾實十四萬七千四百五十六律七寸四分【小分九微強】下生無射
　　開時實十四萬五千四百七十律七寸三分【小分九微強】下生閉掩
　　族嘉實十四萬三千五百一十三律七寸二分【小分九微強】下生鄰齊
　　爭南實十四萬一千五百八十二律七寸一分【小分九強】下生期保
　　辰姑洗實十三萬九千九百六十八律七寸一分【小分一微強】下生應鍾
　　南授實十三萬九千六百七十四【案後漢書無四字據白呂上生南授所得數末二位為七十四今本後漢書蓋脱去四字當以此所引為正】律七寸【小分九太強】下生分烏
　　變虞實十三萬八千八十四律七寸【小分一半強】下生遲内路時實十三萬六千二百二十五律六寸九分【小分二微強】下生未育
　　形始實十三萬四千三百九十二律六寸八分【小分三弱】下生遲時
　　依行實十三萬二千五百八十二律六寸七分【小分三半強】上生色育
　　巳中呂實十三萬一千七十二律六寸六分【小分六微弱】上生執始
　　南中實十二萬九千三百八律六寸五分【小分七微弱】上生丙盛
　　内負實十二萬七千五百六十七律六寸四分【小分八微強】上生分動
　　物應實十二萬五千八百五十律六寸三分【小分九強】上生質末
　　午蕤賓實十二萬四千四百一十六律六寸三分【小分二微強】上生大呂
　　南事實十二萬四千一百五十四律六寸三分【小分一弱】不生【案不今本後漢書訛作下據六十律終于南事故下文云南事窮無商徵不為宮所以明其不生也又甄鸞按以下復兩引後漢志注云不生而辨論之足證今本後漢書流傳之誤】
　　盛變實十二萬二千七百四十一律六寸二分【小分三半強】上生分否
　　離宮實十二萬一千八百一十九【案原本訛作一千八十九脱百一二字今據後漢書補】律六寸一分【小分五微強】上生凌陰
　　制時實十一萬九千四百六十律六寸【小分七微弱】上生少出
　　未林鍾實十一萬八千九十八律六寸上生太蔟謙待實十一萬七千八百五十一律五寸九分【小分九弱】上生未知
　　去滅實十一萬六千五百八律五寸九分【小分四微弱】上生時息
　　安度實十一萬四千九百四十律五寸八分【小分四微弱】上生屈齊
　　歸嘉實十一萬三千三百九十三律五寸七分【小分六微強】上生隨期
　　否與實十一萬一千八百六十七律五寸六分【小分八強】上上形晉【案原本脱此四字今據後漢書補】
　　申夷則實十一萬五百九十二律五寸六分【小分二弱】上生夾鍾
　　解形實十萬九千一百三【案十萬後漢書作十一萬據分否下生解形所得數首位為十萬次位空今本後漢書誤衍一字耳若十一萬九千一百三則律六寸矣當以此所引為正】律五寸五分【小分四強】上生開時
　　去南實十萬七千六百三十五律五寸四分【小分六太強】上生族嘉
　　分積實十萬六千一百八十七【案七後漢書作八據少出下生分積所得數末位六六六不盡故約之為七不得有八也今本後漢書訛舛當以此所引為正】律五寸三分【小分九強】上生爭南
　　酉南呂實十萬四千九百七十六律五寸三分【小分三強】上生姑洗
　　白呂實十萬四千七百五十六律五寸三分【小分二少強】上生南授
　　結躬實十萬三千五百六十三律五寸二分【小分六微強】上生變虞
　　歸期實十萬二千一百六十九律五寸一分【小分九微強】上生路時
　　未卯實十萬七百九十四律五寸一分【小分二微強】上生形始
　　夷汗實九萬九千四百三十七律五寸【小分五微強】上生依行
　　戌無射實九萬八千三百四律四寸九分【小分九強】上生中呂
　　閉掩實九萬六千九百八十律四寸九分【小分三弱】上生南中
　　鄰齊實九萬五千六百七十五律四寸八分【小分六微強】上生内負
　　期保實九萬四千三百八十八律四寸七分【小分九半強】上生物應
　　亥應鍾實九萬三千三百一十二律四寸七分【小分四微強】上生蕤賓
　　分烏實九萬三千一百一十六【案六後漢書作七據南授下生分烏所得數末為六今本後漢書訛舛當以此所引為正】律四寸七分【小分三微強】上生南事遲内實九萬二千五十六律四寸六分【小分八強】上生盛變未育實九萬八百一十七律四寸六分【小分一強】上生離宮遲時實八萬九千五百九十五律四寸五分【小分五微強】上生制時【案以上小分以強弱少強微強微弱半強太強七等約言之未育之小分一強尾數一三有竒今本後漢書訛作一少強分積之小分九強尾數九三有竒今本後漢書訛作九半強少出之小分九少強尾數九二有竒白呂之小分二少強尾數二二有竒今本後漢書竝脱少字分動之小分四微強尾數四一有竒隨期内負之小分八微強尾數八一有竒夾鍾之小分九微強尾數九一有竒夷汗遲時之小分五微強尾數五一有竒今本後漢書竝脱微字結躬之小分六微強尾數六一有竒今本後漢書訛作六少強中呂之小分六微弱尾數五九有竒增而為六制時之小分七微弱尾數六九有竒增而為七安度之小分四微弱尾數三九有竒增而為四今本後漢書竝脱微字開時之小分九微強九之外尚竒零不盡今本後漢書訛作九微弱質末之小分二半強尾數二五有竒今本後漢書脱半字依行盛變之小分三半強尾數三五有竒今本後漢書竝訛作太強期保之小分九半強尾數九五有竒今本後漢書訛作九微強皆當以此書所引為正惟去滅之小分二微弱尾數一九有竒今本後漢書脫微字此所引二訛作四可以互相補正】
　　甄鸞按剛柔殊節清濁異倫五音六律理無相奪隔八相生又如合契按司馬彪志序云上生不得過黄鍾之濁下生不得不及黄鍾之清是則上生不得過九寸下生不得減四寸五分且依行者辰上之管也長六寸七分上生色育然則色育者亥上之管也長四寸四分減黄鍾之清其名仍就下生之名其算變取上生之實乃越亥就子編于黄鍾之下律長八寸九分非直名與實乖抑亦違例隔凡志又云始于黄鍾終于南事注云不生且南事午上管也計南事之律次得上生八寸四分之管便是上生不過黄鍾之濁乃注云不生此乃苟欲充六十之數其于義理未之前聞
　　禮記投壺法
　　壺頸脩七寸腹脩五寸口徑二寸半容斗五升注云脩長也腹容斗五升三分益一則為二斗得圓囷之象積三百二十四寸以腹脩五寸約之所得求其圓周圓周二尺七寸有竒【案此句原本脱圓周二字今據禮記注補】是為腹徑九寸有餘甄鸞按斛法一尺六寸二分上十之得一千六百二十寸為一斛積寸下退一等得一百六十二寸為一斗積寸倍之得三百二十四寸為二斗積寸以腹脩五寸約之得六十四寸八分乃以十二乘之得積七百七十七寸六分又以開方除之得圓周二十七寸餘四十八寸六分倍二十七從方法得五十四下法一亦從方法得五十五以三除二十七寸得九寸又以三除不盡四十八寸六分得一十六寸二分與法俱上十之是為壺腹徑九寸五百五十分寸之一百六十二母與子亦可俱半之為二百七十五分寸之八十一
　　臣淳風等謹按其問宜云今有壺腹脩五寸容斗五升三分益一則為二斗得圓囷之象問積寸之與周徑各㡬何曰積三百二十四寸周二尺七寸二百七十五分寸之二百四十三徑九寸二百七十五分寸之八十一術宜云置二斗以斗法乘之得積寸以腹脩五寸除之所得以十二乘之開方除之得周數三約之即得徑數
　　推春秋魯僖公五年正月辛亥朔法
　　經云僖公五年春王正月辛亥朔日南至【案此乃左氏傳文後文公六年又㐮公二十七年兩條皆稱傳與經别此作經云誤也】南至冬至也冬至之日南極至【案此三字似有舛誤周髀算經云日夏至在東井極内衡日冬至在牽牛極外衡也一嵗一内極一外極】故謂之日南至也日中之時景最長以是表之【案此句有舛誤當作以景度之】知其南至周官以土圭度日景以求地中夏至之日景尺有五寸冬至之日立八尺之木以為表度而知之公既視朔遂登觀臺以望雲氣而書禮也凡分至啟閉必書雲物為備故也【案此下或援經而不列算或僅有題題之下即淳風注似唐時正文已殘缺矣】
　　臣淳風等謹按此經皆有術無問今竝準其術意而加問焉其問宜云從周厯上元丁巳至僖公五年丙寅積二百七十五萬九千七百六十九算【案原本脱算字今補】元法四千五百六十章嵗十九章月二百三十五嵗中十二閏餘七周天分二萬七千七百五十九日法九百四十問僖公五年正月朔閏餘及大小餘各㡬何并二月復是何朔曰閏餘盡大餘四十七小餘二百三十五正月辛亥朔二月庚辰朔術曰置周厯上元丁巳至僖公五年嵗在丙寅積二百七十五萬九千七百六十九算以元法四千五百六十除之得六百五棄之取不盡九百六十九以章月二百三十五乘之得二十二萬七千七百一十五以章嵗十九除之得一萬一千九百八十五為積月不盡為閏餘閏餘十二以上其嵗有閏今閏餘盡則知五年無閏推積日法
　　置積月一萬一千九百八十五以周天分二萬七千七百五十九乘之得三億三千二百六十九萬一千六百一十五為朔積分以日法九百四十除之得三十五萬三千九百二十七為積日不盡二百三十五為小餘以六十除積日得五千八百九十八棄之取不盡四十七為大餘命以甲子算外即正月辛亥朔
　　求次月朔法
　　置正月朔大小餘加朔大餘二十九小餘四百九十九若小餘滿日法九百四十除之從大餘一滿六十除之命以甲子算外即次月朔如是一加得一月朔若小餘滿四百四十一以上其月大減者小也
　　推僖公五年正月辛亥朔旦冬至法
　　經云僖公五年春王正月辛亥朔日南至
　　臣淳風等謹按術意其問宜云一年二十四氣氣有大餘十五三十二分之七從周厯上元至僖公五年元餘有九百六十九算度餘五日四分度之一欲求此年朔旦冬至及算此氣之法其術如何曰辛亥朔術曰置前推月朔積年九百六十九算以餘數二十一乘之得二萬三百四十九為實以度分母四除之得五千八十七為積日不盡一為小餘以六十除積日得八十四棄之取不盡四十七為大餘命以甲子算外辛亥冬至與正月朔同故曰朔旦冬至
　　臣淳風等謹按術朞三百六十五日四分日之一以六十除之餘五日四分日之一通之得二十一故名餘數即與四為度法也
　　求次氣法
　　加大餘十五小分二十一小分滿氣法二十四從小餘一小餘滿四從大餘一大餘滿六十去之命以甲子算外次氣日如是一加得一氣
　　臣淳風等謹按一年之中有二十四氣欲求一氣度者以二十四氣除周天之分即得也然周天分母有四須以四乘之二十四氣得九十六為法以除之得一氣十五日九十六分日之二十一等數約之得三十二分之七也術曰小分二十一滿氣法從小餘小餘滿四從大餘者乃是不約其分不出分母雖合其數無所由來若求次氣者宜云加大餘十五小分七小分滿三十二【案原本此句脫小字今補】從大餘一如是一加得一氣
　　推文公元年嵗在乙未閏當在十月下而失在三月法
　　經云文公元年于是閏三月非禮也先王之正時也履端于始舉正于中歸餘于終履端于始序則不愆舉正于中民則不惑歸餘于終事則不悖【案此亦左氏傳文作經云者誤】臣淳風等謹按術意其問宜云從周厯上元丁巳至魯文公元年嵗在乙未積二百七十五萬九千七百九十八算嵗中十二閏餘七問其年有閏與不若有閏復在何月下曰其年有閏在十月下術曰置周厯上元丁巳至魯文公元年嵗在乙未積二百七十五萬九千七百九十八算以元法四千五百六十除之得六百五棄之取不盡九百九十八以章月二百三十五乘之得二十三萬四千五百三十以章嵗十九除之得一萬二千三百四十三為積月不盡十三為閏餘經云閏餘十二已上其嵗有閏今有十三即知文公元年有閏也
　　推閏餘十三在何月法
　　置章嵗十九以閏餘十三減之不盡六以嵗中十二乘之得七十二以章閏七除之得十命從正月起算外閏十月下而盡閏三月者非也
　　推文公六年嵗在庚子是嵗無閏而置閏法
　　經云文公六年閏月不告朔猶朝于廟傳曰閏月不告朔非禮也閏以正時時以作事事以厚生生民之道于是乎在矣不告閏朔棄時正也何以為民
　　臣淳風等謹按術意問宜云從周厯上元至文公元年元餘九百九十八算問文公六年合有閏不曰無閏術曰置文公元年算九百九十八更加五得一千三算以章月二百三十五乘之得二十三萬五千七百五以章嵗十九除之得一萬二千四百五為積月不盡十為閏餘經云閏餘十二已上其嵗有閏今止有十即知六年無閏也
　　推㐮公二十七年嵗在乙卯再失閏法
　　襄公二十七年嵗在乙卯九月乙亥朔是建申之月也魯史書十二月乙亥朔日有食之【案左傳注疏明監本及别本經文皆訛作乙卯朔惟此所引不誤】傳曰冬十一月乙亥朔日有食之于是辰在申司厯過也再失閏矣言時實以為十一月也不察其建不考之于天也
　　臣淳風等謹按術意問宜云從文公十一年至襄公二十七年合七十一年以何術推求得知再失閏術曰置文公十一年嵗在乙巳會于承匡之嵗至襄公二十七年嵗在乙卯合七十一年閏餘七即以七乘七十一年得四百九十七以章嵗十九除之得二十六閏以長厯校之正二十四閏故云再失閏
　　推綘縣老人生經四百四十五甲子法
　　襄公三十年嵗在戊午二月癸未注二月一日丁卯朔癸未十七日也晉悼夫人食輿人之城杞者絳縣人年長矣無子而徃與于食有與疑年使之年曰臣小人也不知紀年臣生之嵗正月甲子朔四百有四十五甲子矣其季于今三之一也吏走問諸朝師曠曰魯叔仲惠伯會卻成子于承匡之嵗也七十三年矣史趙曰亥有二首六身下如二身是其日數也士文伯曰然則二萬六千六百有六旬也甄鸞按四百四十五甲子其季于今三之一者計四百四十五甲子有二萬六千七百日其季三之一者謂不滿四百四十五甲子于未滿一甲子六十日之中三分取一謂去四十日止留二十日也是以注云三分六甲之一得甲子甲戌盡癸未謂止有四百四十四甲子竒二十日合二萬六千六百六十日以應史趙亥有二首六身之數也術曰置積日二萬六千六百六十日以四乘之得十萬六千六百四十日為實又置周天三百六十五日四分日之一以四乘之内子一得一千四百六十一為一嵗之日法以除實得七十二嵗一千四百四十八少十三分不滿法計四分為一日更少三日不終季年算法半法以上收成一為七十三年據多而言也
　　推文公十一年嵗在乙巳夏正月甲子朔絳縣老人生月法
　　襄公三十年絳縣人曰臣小人不知紀年臣生之嵗正月甲子朔四百四十五甲子矣其季于今三之一也臣淳風等謹按術意問宜云【案原本脱宜云二字今據注内前後體例增補】從周厯上元至絳縣老人生年元餘有一千八算正月既甲子朔問正月以前十二月十一月大小又各是何朔及大餘小餘之數當月各有㡬何曰夏之十一月小乙丑朔大餘一小餘一百一十三十二月大甲午朔大餘三十小餘六百一十二正月小甲子朔大餘盡小餘一百七十一術曰置文公元年九百九十八算更加十得一千八算以章月二百三十五乘之得二十三萬六千八百八十以章嵗十九除之得一萬二千四百六十七為積月不盡七為閏餘推積日法
　　置積月一萬二千四百六十七以周天分二萬七千七百五十九乘之得三億四千六百七萬一千四百五十三為朔積分以日法九百四十除之得三十六萬八千一百六十一為積日不盡一百一十三為小餘以六十餘積日不盡一為大餘命以甲子算外乙丑推次月朔法如前僖公五年中術
　　臣淳風等謹按此術所推得乙丑朔者是夏之十一月朔也欲求十二月朔者置前月小餘一百一十三加朔小餘四百九十九又置前月大餘一加朔大餘二十九命以甲子算外十二月大甲午朔次求正月朔者置前月小餘六百一十二加朔小餘四百九十九又置前月大餘三十加大餘二十九小餘滿日法從大餘滿六旬除之適得盡命以甲子算外正月小甲子朔【案原本脱朔字今補】是老人所生之嵗也
　　推昭公十九年閏十二月後而以閏月為正月故以正月為二月法
　　臣淳風等謹按術意問宜云從周厯上元至昭公十九年嵗在戊寅積二百七十五萬九千九百一算問此年合有閏以不并正月復是何朔曰有閏正月乙丑朔術曰置周厯上元丁巳至昭公十九年嵗在戊寅積二百七十五萬九千九百一算以元法四千五百六十除之得六百五棄之取不盡一千一百一以章月二百三十五乘之得二十五萬八千七百三十五以章嵗十九除之得一萬三千六百一十七為積月不盡十二為閏餘經云閏餘十二已上其嵗有閏今閏餘有一十二則知十九年有閏也
　　推積日法
　　置積月一萬三千六百一十七以周天分二萬七千七百五十九乘之得三億七千七百九十九萬四千三百三為朔積分以日法九百四十除之得四十萬二千一百二十一為積日不盡五百六十三為小餘以六十除積日得六千七百二棄之不盡一為大餘命以甲子算外正月乙丑朔
　　推昭公十九年嵗在戊寅閏在十二月下法
　　臣淳風等謹按術意問宜云昭公十九年閏餘十二既有閏當在何月下曰在十二月下術曰置章嵗十九以閏餘十二減之不盡七以十二乘之得八十四以章閏七除之得十二命從正月起算外即閏在十二月下也
　　推昭公十九年嵗在戊寅月朔法
　　臣淳風等謹按昭公十九年依前求之正月大乙丑朔大餘一小餘五百六十三問其年十二月及閏月大小餘月朔甲子并當月大小餘各㡬何曰正月大乙丑朔大餘一小餘五百六十三二月小乙未朔大餘三十一小餘一百二十二三月大甲子朔大餘盡小餘六百二十一四月小甲午朔大餘三十小餘一百八十五月大癸亥朔大餘五十九小餘六百七十九六月小癸巳朔大餘二十九小餘二百三十八七月大壬戌朔大餘五十八小餘七百三十七八月小壬辰朔大餘二十八小餘二百九十六九月大辛酉朔大餘五十七小餘七百九十五十月小辛卯朔大餘二十七小餘三百五十四十一月大庚申朔大餘五十六小餘八百五十三十二月小庚寅朔大餘二十六小餘四百一十二閏月大己未朔大餘五十五小餘九百一十一淳風等推求朔甲乙及月大小并當月大小餘之法術曰置前月大小餘各加朔大小餘滿日法從大餘一大餘滿六十去之餘命起甲子算外即次月朔如是一加得一月朔若小餘滿四百四十一以上其月大不滿者小其昭公二十年推月朔法亦準此
　　推昭公二十年嵗在己卯月朔法
　　正月大己丑朔大餘二十五小餘四百七十二月小己未朔大餘五十五小餘二十九三月大戊子朔大餘二十四小餘五百二十八
　　推昭公二十年嵗在己卯正月己丑朔旦冬至而失云閏二月己丑冬至法
　　臣淳風等謹按術意問宜云從周厯上元丁巳至昭公二十年己卯積二百七十五萬九千九百二十算欲求此正月朔旦冬至及大小餘各㡬何曰大餘二十五小餘二術曰置周厯上元丁巳至昭公二十年嵗在己卯積二百七十五萬九千九百二算以元法四千五百六十除之得六百五棄之取不盡一千一百二以二十一乘之得二萬三千一百四十二以度分母除之得五千七百八十五不盡二為小餘以六十除積日得九十六棄之不盡二十五為大餘命以甲子算外己丑冬至與正月朔旦同
　　甄鸞按周厯昭公十九年嵗在戊寅其年閏十二月其月大己未朔二十年嵗在己卯正月大己丑朔即以己丑朔旦為冬至而昭公十九年不置閏乃以閏十二月為正月故以為二月也
　　推哀公十二年嵗在戊午應置閏而不置故書十二月有螽法
　　經云哀公十二年冬十有二月螽季孫問諸仲尼仲尼曰丘聞之火伏而後蟄者畢今火猶西流司邱過也臣淳風等謹按術意問宜云從周厯上元丁巳至哀公十二年嵗在戊午積二百七十五萬九千九百四十二算有閏與不若有閏復在何月之下曰有閏在八月之下術曰置周厯上元丁巳至哀公十二年嵗在戊午積二百七十五萬九千九百四十二算以元法四千五百六十除之得六百五棄之取不盡一千一百四十二以章月二百三十五乘之得二十六萬八千三百七十以章嵗十九除之得一萬四千一百二十四為積月不盡十四為閏餘經云閏餘十二已上有閏其嵗有餘十四則知十二年有閏也
　　求十二年閏月法
　　置章嵗十九以閏餘十四減之不盡五以嵗中十二乘之得六十以章閏七除之得八命從正月起算外即閏在八月下甄鸞按周十二月夏之十月也哀公十二年閏在夏八月下當時實是夏之九月而失以閏月為九月以九月為十月故書冬十有二月螽也


　　五經算術卷下